第一部分 賠率篇
五、賠率的數學模型。
（四）賠率的運營模型。
在此之前我一直沒有提及賠率的分析方法，而是從賠率和博彩公司內部去挖掘、探索賠率的生成方式、作用、意義、盈利方式、算法等基礎環節，其目的是希望大家跳出賠率所帶來的數字陷阱，從賠率的表面化回歸到賠率的盈利方式以及博彩公司的內在盈利，使大家以商品的視角出發來看待賠率，畢竟賠率也是一件商品。
我認為，從博彩公司贏利的角度去分析賠率，才是賠率分析最正確的方法。因為無論是我們以後將要提及的賠率對比還是賠率離散度、賠率走勢，其原理也是從博彩公司的贏利角度出發的。從下面開始，我們將深入的接觸到賠率，以及賠率的贏利模式。
1、凱利指數。
凱利公式是著名的玻爾實驗室的一位科學家John Kelly於1956年提出的，凱利在協助規劃電子位元流量設計時，對較小概率發生事件提出了一個複雜的計算公式——凱利公式。這個公式屬於概率學關於預測（期）方面的一個分支，原數學模型極為複雜，同時，由於博彩中的冷門也是較小概率發生事件，於是凱利值的概念也引入到博彩業中。在此後的時間裡，凱利公式因其在對事件的預期和規避風險等理論上的先進性，凱利準則在博彩方面的應用極為迅速地傳播起來，比如賭場的撲克遊戲21點和歐洲盛行的賽馬、賽狗等運動，其地位同「旋轉矩陣」在數字樂透領域一樣顯赫。
依照這個公式，其計算出來的結果則被我們稱為凱利值。在足球博彩方面，其應用主要以歐洲賠率為基礎，可以在給定賠率的情況下計算出最佳的投注額，以實現盈利。
通過凱利指數的原理，我們可以瞭解到凱利其實質亦是來自於概率學，而博彩公司的賠率生成同樣來自於概率學，這種異曲同工造就了凱利指數對博彩準確度的大幅度提高。
要說凱利指數，首先要提到的是凱利方程式（Kelly-formula），凱利方程式為：K=W-(1-W)/R。其中，K=投資的最佳資本比例；W=投資獲利的平均機率；R=成功獲利比。這個方程式帶給我們什麼呢？其最重要的作用是「使我們清楚的核算出項目的最佳投資盈利。」
這個方程式演化到足球賽場，與博彩公司的賠率相互搭配，就形成了我們口中時常提到的凱利指數。
凱利公式的基本公式：
p*o-1
b=——————————————(基礎方程)
o-1
p = 勝率（the probability of collecting the bet. (0o = 含本金的賠率（the gross payoff (a multiple of stake) in case you win. (o>1)）
b = 最佳投注額比例（gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.）
也可以演變為另一種解釋（引用Ed Seykota 的風險管理文章中的描述）
The Kelly Formula
K = W – (1-W)/R ———————————(個人因素方程)
K = 下一筆交易占資本比例
W = 歷史勝率
R = 報酬 （放到足彩上，就是賠率減去1）
一般人常提到一個精明公式
精明的凱莉方程式：
b*(e*o-1)
opt=———————— —————————–(精明方程)
3*(o-1)
上式具體含義如下：
opt = 最佳投注額（Optimized Stake Size）
b = 可支配的總投注額（Current bankroll）
o = 小數形式的賠率（Odds available in decimal format）
e = 取勝預期或者說預計勝率（Estimated probability）
精明方程實際是基礎方程演變而來，是相對而言最可靠的，如果按照這個方程並且自身平均勝率高於賠率反映勝率就可以穩定的達到平均每次投注有6%的預期利潤，不過要注意以下幾個方面：
（1）賠率低於等於1.5的情況下，即便勝率很高，最終也是要虧錢的。
（2）賠率在1.5-2.1之間，屬於灰色區域，在這個區域間，應當謹慎投注。
（3）賠率高於2.1的情況下，屬於凱利方程理想應用區域。
（4）根據個人因素方程，第2、3兩種情況中，影響最佳投注比例的是賠率的大小，所以選擇的賠率必須至少高於或者等於公平賠率。
（5）同樣根據個人因素方程，任何時候最佳投注比例都是小於公平賠率所反映的勝率百分比的，這就奉勸大家任何時候不要考慮半倉或者額外加注。
（6）p的計算不是你個人的勝率，而是公平賠率所反映的勝率百分比，這樣最符合凱利方程的原理，在選擇的賠率高於公平賠率時，w不動，r增加，凱利方程正好鼓勵加大投資。
最後不得不說本文中的公平賠率問題，目前存在有三種換算方法，一種是選擇整個市場均衡態的情況下理想的賠率體系，一種是按照獨立球隊分析模型（涉及埃羅/松泊等方法的運用）做出的賠率體系，一種是簡單選擇市場平均賠率（最好加以標準偏差分析方法進行調整），這三種方法各有利弊，一般採用的是第一種和第三種。
然而單就方程式而言，未免過於深奧，因此對上述內容我們大可只作瞭解。但我們卻必須清楚知道博彩公司的贏利是怎麼構成的，其與凱利指數有何聯繫？
博彩公司的贏利來自兩個方面：一是佣金收入，另一個是賠付順差收入。如果發生賠付逆差博彩公司就有可能賠錢。其實這和一般的商品交易是一回事。大家比較熟悉商品交易，交易總值的計算有一個公式：
交易價格×交易數量﹦交易總值，
在博彩業中，如果說賠率是交易價格的話，那麼玩家對勝、平、負三個結果的投注量就是交易量。我們如果能知道博彩公司在這個賽果中的交易量，我們也就能計算出它的交易值了，而其交易量（投注量）是絕對保密的，同時由於每個結果的投注量都很大，也不便於比較。就把交易總量設為1，只要知道各個結果的投注比例（彩金分佈比例）就行了。其實彩金分佈比例對莊家而言也是絕對的商業機密，世人不得而知。這也無關緊要，我們可以借助相關的數據來進行估算。在這裡，凱利值就有交易值的含義了。
對於足彩而言由於有勝、平、負三個結果，那麼凱利值就為：
主勝賠率×主勝彩金%=莊家應付主勝彩金%
平局賠率×平局彩金%=莊家應付平局彩金%
主負賠率×主負彩金%=莊家應付主負彩金%
在這裡主勝彩金%+平局彩金%+主負彩金%=1，也就是莊家受注的彩金總量為1。
由莊家應付主勝彩金%、莊家應付平局彩金%、莊家應付主負彩金%，又組成了三個小數，那麼這一組小數被稱為凱利值。
計算凱利值的意義是什麼呢？
（1）我們知道莊家願意賠低不願意賠高的道理，那麼凱利值低的那個結果最容易出現。
（2）我們知道莊家受注的彩金總量為1，那麼凱利值＞1結果不容易出來（莊家賠率開高，強隊強行勝出；莊家另有開賠意圖……除外），凱利值≦1的結果可能出來。
（3）莊家盈利的基本方法是通過對比賽的預測保持賠付平衡後能收取到法律允許的佣金（俗稱水錢）。現時歐洲的賠付率為0.89—0.92，那麼低於或等於此標準的凱利值結果莊家都可以接受。
（4）莊家還有第二個收益來源就是除正常收取水錢後還捎帶有賠付順差，那麼凱利值最低的結果就最有可能打出來。
凱利值對足球賽事預測的重要意義就在於此。
凱利值的計算與賠率密切相關，可以說是和賠率與之俱來的數據信息之一（這裡計算出的凱利值實際上就是理論上的賠付包容率，是莊家開賠時預計好了的，是我們進行數據分析判斷的參考。），賠率是一項偉大的發明由此可見一斑。賠率分析對足彩預測的重要性不言而喻。
在這裡還要提醒彩友門注意凱利值也有廣義和狹義兩種概念。狹義的凱利值對足彩分析才有參考意義，而廣義的凱利值，如莊家計算後公佈的凱利值只是表達莊家對各種比賽結果的期望值，並不構成玩家的實際行為，並不具有多大的參考價值。
下面我舉一個實際例子，足彩04037期阿森納對西布朗：
週末歐洲平均賠率 1.18 5.81 15.39
週末歐洲投注比例 0.81 0.15 0.04
凱利值計算分別是 0.96 0.87 0.61
因為本組賠率的水線（S）=1.084，莊家預計的賠付包容率為0.923，週末歐洲投注比例經投注行為分析是可信的，這樣主勝的凱利值為0.96大於0.923，而平局、主負的凱利值分別為0.87、0.61均小於0.923，後面兩個結果打出來對莊家有利，莊家開賠率時就預計到了這種情況，因此投注1、0。結果雙方1：1戰平。
2、盈虧指數。
說完凱利指數，我們明白了其意義在於研究博彩公司（莊家）在一場比賽賠付方面的盈虧情況，但凱利指數對於博彩公司盈利情況的反饋還是比較側面的，為此我們提出另一個公式：盈虧指數。
盈虧指數同凱利指數一樣，也是通過對比賽勝、平、負投注比例的分析，實現對博彩公司的贏利分析，從而預判出某場比賽最終的賽果。而與凱利指數不同的是，盈虧指數對於博彩公司盈利情況的反饋更為直接，換言之，計算盈虧指數的公式，實質上就是博彩公司的帳目計算公式，當然以此來計算博彩公司的盈虧情況，其結果自然更為精準。當然相比凱利指數，盈虧的後市預判性還是有明顯不足的，因此我們一直強調要用盈虧指數與凱利指數相互協調、結合的方法，來判斷比賽的賽果。
在這裡我們要強調一點：通過實際的盈虧運算及分析，我們可以發現很多比賽，莊家往往給出的是兩項盈利項，只能排除掉一個結果。之所以會出現這種情況，是與博彩公司對比賽的判斷力相關聯的。正如我們前文所說的那樣，即便運用「埃羅預測法」、「進球率法」、「六場積分法」等多種數據模型，依然難以對某些比賽平局的概率得出精準的判斷，這就迫使博彩公司調整賠率，以期實現兩個賽果同時盈利的目的。這就是為什麼無論通過凱利指數，還是通過盈虧指數，都只能判斷出某些比賽存在兩個盈利項的原因。
那麼接下來我們開始介紹盈虧指數。
和凱利指數一樣，盈虧指數的計算也需要一組參數，那就是「投注比例」。盈虧指數的計算公式是傚法博彩公司的財務收支計算而得出的，其具體公式是：
某場比賽的盈虧指數=90-比賽結果對應的投注比例*比賽結果對應的賠率
其中：
盈虧指數的運算中的90是什麼呢？這是一個平均返還率的問題。一般主流博彩公司的返還率都是90%左右浮動，因此，這個90，實際就是平均返還率。
上述公式是盈虧的基礎公式，類似於凱利的原始公式。根據盈虧指數的運算，我們對比凱利指數的公式可知，二者在大方向上是相輔相成的。
那麼在實際運用中，盈虧指數是如何運用的呢？以2003年第43期足彩的第13場，米德爾vs曼聯為例。本場比賽勝平負賠率依次為4.71、3.28和1.63，對應的網友投注比例分別為23.77%、16.55%和59.68%，比賽結果為0(曼聯贏)。如果投注足彩的資金用來賭外圍，那麼，每受注100元，博彩公司需賠付：59.681.63=97.28元，盈虧指數為90-97.28=-7.28。也就是說，考慮到運營成本等因素，博彩公司在這場比賽上每受注100元會出現7.28元的虧損。
由此我們可以看出，無論通過凱利計算，還是通過盈虧計算，某些比賽，即便強隊方勝率很高，莊家最終也是要虧錢的。對於強隊所出現的博彩公司虧錢的情況，我們可以通過賠率的變化來規避，同時只要盈虧不出現較大虧損局面，這個正路結果也是很容易打出的。
但既然強隊的比賽打出正路賽果要虧損，那盈虧指數對我們還具有什麼指導意義呢？這裡我們來討論博彩公司是怎麼通過賠率來實現盈虧平衡的。
盈虧指數的衍生公式是：
（100-投注比例）*0.9—(賠率-1)*投注比例
其得出的過程如下：
假定某場比賽的投注總額為X，根據莊家不參賭原則，假定賽果的投注比例為Y（不含百分號），則沒能打出的結果的投注比例為（100-Y），則莊家總盈利為（100-Y）X。而這部分盈利裡，包含了莊家所應得的手續費（即水錢），按普遍的90%返還率（也可按85%）計算，則莊家的賠付順差收益為：0.9（100-Y）X。
同理，這部分盈利，要用來填補賽出賽果部分投注額的虧損。而根據賽果的投注比例Y，除去賠率所含本金，則有該部分賠付返還為：X（賠率-1）Y。
由於賠率中已包含手續費，因此，返還那部分盈利是不能乘以0.9（或0.85）的。也就說，閒家只按照賠率的大小收取盈利，不再繳納任何手續費用。假定賠率為1.25，閒家投注100元，盈利就理所當然應該是25元。
由此，莊家的盈虧為：0.9（100-Y）X—X(賠率-1)Y。
假定X=1，則公式演變為：（100-投注比例）*0.9-(賠率-1)*投注比例。這個公式所得的結果，就是莊家的盈虧結果（水錢除外）。
我們同樣還可以換位思考。假定投注總額為X，而博彩公司一開始就把水錢完全拿走，則剩餘投注總額為0.9X（返還率90%的情況下）。而正常賽果的投注比例為Y（不含百分號）。則未賽出結果的投注比例為（100-Y），則博彩公司總盈利為：0.9（100-Y）X。而正常賽果的投注額為：0.9XY（不含水錢），這部分投注額理應獲得賠率的賠付，則賠率的賠付為：（賠率-1），由於賠率裡已經含有了0.9的水錢，因此我們必須再除以0.9，由此同樣能得到上述公式。
盈虧的衍生公式可以知道博彩公司對於某場比賽的盈利情況，舉個例子：
07003期足彩，紐卡斯 2-2 西漢姆，立博賠率1.72 3.20 4.33，官方投注比例58.75 22.93 18.32。根據公式我們可以得出：
主勝盈虧為：-5
平局盈虧為：19
客勝盈虧為：13
很顯然，我們可以知道，莊家並不看好主隊勝出，最優選項是平局。
