大英帝國彩票
“下一個贏家就是你！”這句響亮的具有極大蠱惑性的話是大英帝國彩票的廣告詞。買一張大英帝國彩票的誘惑有多大呢？只要你花上1英鎊，就有可能獲得2200萬英鎊！
一點小小的投資竟然可能得到天文數字般的獎金，這沒辦法不讓人動心，很多人都會想：也許真如廣告所說，下一個贏家就是我呢！因此，自從1994年9月開始發行到現在，英國已有超過90%的成年人購買過這種彩票，並且也真的有數以百計的人成為百萬富翁。如今在世界各地都流行著類似的遊戲，在我國各省各市也發行了各種福利彩票、體育彩票，各地充滿誘惑的廣告滿天飛，而報紙、電視上關於中大獎的幸運兒的報道也熱鬧非凡，因此吸引了不計其數的人踴躍購買。很簡單，只要花2元的人民幣，就可以擁有這麼一次嘗試的機會，試一下自己的運氣。
但一張彩票的中獎機會有多少呢？讓我們以大英帝國彩票為例來計算一下。大英帝國彩票的規則是49選6，即在1至49的49個號碼中選6個號碼。買一張彩票，你只需要選六個號、花1英鎊而已。在每一輪，有一個專門的搖獎機隨機搖出6個標有數字的小球，如果6個小球的數字都被你選中了，你就獲得了頭等獎。可是，當我們計算一下在49個數字中隨意組合其中6個數字的方法有多少種時，我們會嚇一大跳：從49個數中選6個數的組合有13983816種方法！
這就是說，假如你只買了一張彩票，六個號碼全對的機會是大約一千四百萬分之一，這個數小得已經無法想象，大約相當於澳大利亞的任何一個普通人當上總統的機會。如果每星期你買50張彩票，你贏得一次大獎的時間約為5000年；即使每星期買1000張彩票，也大致需要270年才一次六個號碼全對的機會。這幾乎是單個人力不可為的，獲獎僅是我們期盼的偶然而又偶然的事件。
那麼為什麼總有人能成為幸運兒呢？這是因為參與的人數是極其巨大的，人們總是抱著撞大運的心理去參加。孰不知，彩民們就在這樣的幻想中為彩票公司貢獻了巨額的財富。一般情況下，彩票發行者只拿出回收的全部彩金的45%作為獎金返還，這意味著無論獎金的比例如何分配，無論彩票的銷售總量是多少，彩民平均付出的1元錢只能贏得0.45元的回報。從這個平均值出發，這個遊戲是絕對不划算的。
概率：直覺易出錯
在社會和自然界中，我們可以把事件發生的情況分為三大類：在一定條件下必然發生的事件，叫做必然事件；在一定條件下不可能發生的事件，叫做不可能事件；在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。在數學上，我們把隨機事件產生的可能性稱為概率。嚴格說來，概率就是在同一條件下，發生某種事情可能性的大小。概率在英文中的名稱為probability，意為可能性、或然性，因此，概率有時也稱為或然率。
彩票是否中獎就是個典型的概率事件，但概率不僅僅出現在類似買彩票這樣的Dubo或遊戲中，在日常生活中，我們時時刻刻都要接觸概率事件。比如，天氣有可能是晴、陰、下雨或颳風，天氣預報其實是一種概率大小的預報；又如，今天某條高速公路上有可能發生車禍，也有可能不發生車禍；今天出門坐公交車，車上有可能有小偷，也有可能沒有小偷。這些都是無法確定的概率事件。
由於在日常生活中經常碰到概率問題，所以即使人們不懂得如何計算概率，經驗和直覺也能幫助他們作出判斷。但在某些情況下，如果不利用概率理論經過縝密的分析和精確的計算，人們的結論可能會錯得離譜。舉一個有趣的小例子：給你一張美女照片，讓你猜猜她是模特還是售貨員？很多人都會猜前者。實際上，模特的數量比售貨員的數量要少得多，所以，從概率上說這種判斷是不明智的。
其實，上面所說的彩票問題也反映了人們對概率自以為是的直覺是多麼靠不住。人們在購買彩票時總是隻看到那些中了大獎的故事，而不願去考慮中大獎其實是個最典型的小概率事件，其概率低到根本不值得去買。數學專家認為，概率低於1/1000，就可以忽略不計了，而大英帝國彩票中特等獎的概率只有一千四百萬分之一，即使是選號範圍小一些的彩票，中到特等獎的概率一般也要五百萬分之一，這樣小的概率居然還有這麼多人趨之若鶩。有笑話說全世界的數學家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高於中大獎的概率。
人們在直覺上常犯的概率錯誤還有對飛機失事事件。也許出於對在天上飛的飛機本能的恐懼心理，也許是媒體對飛機失事的過多渲染，人們對飛機的安全性總是多一份擔心。但是，據統計，飛機旅行是目前世界上最安全的交通工具，它絕少發生重大事故，造成多人傷亡的事故率約為三百萬分之一。假如你每天坐一次飛機，這樣飛上8200年，你才有可能會不幸遇到一次飛行事故，三百萬分之一的事故概率，說明飛機這種交通工具是最安全的，它甚至比走路和騎自行車都要安全。
事實也證明了在目前的交通工具中飛機失事的概率最低。1998年，全世界的航空公司共飛行1800萬個噴氣機航班，共運送約13億人，而失事僅10 次。而僅僅美國一個國家，在半年內其公路死亡人數就曾達到21000名，約為自40年前有噴氣客機以來全世界所有噴氣機事故死亡人數的總和。雖然人們在坐飛機時總有些恐懼感，而坐汽車時卻非常安心，但從統計概率的角度來講，最需要防患於未然的，卻恰恰是我們信賴的汽車。
隨意的估算也不準
不斷地拋一枚硬幣，當它落到地上時，出現正、反面次數相同的概率是多少？很多人都會以為隨著拋硬幣次數的增加，正、反面出現次數相同的概率也在遞增，但這個想法錯了。恰恰相反，其概率隨著拋硬幣次數的增加在遞減。拋2次時出現正反兩面各1次的概率是50%，拋6次時出現正反兩面各3次的概率是 31.25%，拋10次時出現正反兩面各5次的概率是24.61%，拋100次時出現正反兩面各50次的概率只有大約8%(當然，隨著拋的次數增加，正、反面出現的次數非常接近，就是難以做到完全相同)。這說明，面對一個貌似簡單的概率問題時，我們如果隨意估算，輕易下結論，可能與實際情況恰好南轅北轍。
我們來看一個經典的生日概率問題。以1年365天計(不考慮閏年因素)，你如果肯定在某人群中至少要有兩人生日相同，那麼需要多少人？大家不難得到結果，366人，只要人數超過365人，必然會有人生日相同。但如果一個班有50個人，他們中間有人生日相同的概率是多少？你可能想，大概20%～30%，錯，有97%的可能！
它的計算方式是這樣的：
a、50個人可能的生日組合是365×365×365×……×365(共50個)個；
b、50個人生日都不重複的組合是365×364×363×……×316(共50個)個；
c、50個人生日有重複的概率是1-b/a。
這裡，50個人生日全不相同的概率是b/a=0.03，因此50個人生日有重複的概率是1-0.03＝0.97，即97%。
根據概率公式計算，只要有23人在一起，其中兩人生日相同的概率就達到51%！
但是，如果換一個角度，要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大於50%，你最少要遇到253人才成。
再來看一個常見的抽獎例子。參加抽獎，當然人人都會想得獎，這時候該先抽獎還是後抽，才能讓中獎機率提高呢？
恐怕很多人都會在這個問題上犯糊塗，讓我們用科學方法解決這個問題吧。假設有二個酸蘋果、一個甜蘋果，甲乙丙依次從箱中摸出一個，誰最有機會吃到甜蘋果呢？首先，甲的機會是三摸一，所以甲摸到甜蘋果的概率是1/3。乙的機會如何呢？甲沒有摸到的概率是2/3，然後在這個概率中計算乙摸到的概率：(2 /3)×（1/2)(只剩2個蘋果讓乙摸)=1/3，所以乙摸到甜蘋果的機率是1/3。丙呢？丙只有在甲、乙都沒有摸到的情況下才可能摸到甜蘋果，所以扣掉甲、乙摸中的概率，就是丙的機會大小了，其概率是1-(1/3)-(1/3)=1/3。
明白了嗎？不管先摸也好，後摸也罷，每個人摸到甜蘋果的機會其實都是一樣的。
從Dubo中發展的概率理論
既然一個事件的概率憑感覺隨便估計總是容易出錯，而概率又與人類生活息息相關，那人們就得嚴肅對待概率問題了。
